下面是人教版普通高中数学教科书必修5的内容,据此回答下列问题。 等比数列的前n项和 国际象棋起源于古代印度,相传国王要奖赏国际象棋的发明者,问他想要什么,发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,第2个

admin2019-06-10  23

问题 下面是人教版普通高中数学教科书必修5的内容,据此回答下列问题。
                        等比数列的前n项和
国际象棋起源于古代印度,相传国王要奖赏国际象棋的发明者,问他想要什么,发明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,第2个格子里放上2颗麦粒,第3个格子里放上4颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子,请给我足够的麦粒以实现上述要求。”国王觉得这个要求不高,就欣然同意了,假定千粒麦子的质量为40g,据查,目前世界年度小麦产量约6亿t,根据以上数据,判断国王是否能实现他的诺言。

让我们一起来分析一下,如果把各格所放的麦粒数看成一个数列,我们可以得到一个等比数列,它的首项是1,公比是2,求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和。
一般地,对于等比数列
a1,a2,a3…,an,…,
它的前n项和是
Sn=a1+a2+a3+…+an
根据等比数列的通项公式,上式可写成
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1。    ①
我们发现,如果用公比q乘①的两边,可得
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,    ②
①②的右边有很多相同的项,用①的两边分别减去②的两边,就可以消去这些相同的项,得
(1-q)Sn=a1-a1qn
当q≠1时,等比数列的前n项和的公式为
Sn=(q≠1)
因为an=a1qn-1,所以上面的公式还可以写成
Sn=(q≠1)

有了上述公式,就可以解决本节开头提出的问题,由a1=1,q=2,n=64,可得
S64=
=264-1
264-1这个数很大,超过了1.84×1019,估计千粒麦子的质量约为40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨,因此,国王不能实现他的诺言。

问题:
请为教材中第一个思考“当q=1时,等比数列的前n项和Sn等于多少?”设计一个教学片段。

选项

答案教学片段 师:从上边的推导我们知道,当公比q≠1时,等比数列前n项和Sn=[*],那么大家想过没有,这里为什么要求q≠1呢? 生:q=1时,公式里的分母等于零了,没有意义了。 师:没错,只有在q≠1时上述公式才成立。那么如果一个等比数列,公比q=1,那它的前n项和怎么求呢? 生:如果公比q=1,则这个等比数列就是常数列,每一项都相等…… 师:所以,当a=1时,前n项和等于…… 生:na1。 师:很好。所以大家在理解和记忆等比数列前n项和的时候,就要明确它是由两部分组成的,一部分是…… 生:q≠1时。 师:另一部分是…… 生:q=1时。 师:很好。大家在以后做题时遇到等比数列求和问题就要想想,公比q的取值。

解析
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