A是2阶矩阵,2维列向量α1,α2线性无关,Aα1=α1+α2,Aα2=4α1+α2.求A的特征值和|A|.

admin2019-07-22  50

问题 A是2阶矩阵,2维列向量α1,α2线性无关,Aα112,Aα2=4α12.求A的特征值和|A|.

选项

答案方法一 先找A的特征向量.由于α1,α2线性无关,每个2维向量都可以用它们线性表示.于是A的特征向量应是α1,α2的非零线性组合c1α1+c2α2,由于从条件看出α1不是特征向量,c2不能为0,不妨将其定为1,即设η=cα12是A的特征向量,特征值为A,则Aη=Aη, Aη=A(cα12)=c(α12)+4α12=(c+4)α1+(c+1)α2, 则 (c+4)α1+(c+1)α2=A(cα1+α), 得c+4=λc,c+1=λ.解得c=2或-2,对应的特征值λ分别为3,-1.|A|=-3. 方法二 A(α1,α)=( α12,4α12),用矩阵分解法,得 (α12,4α12)=[*] 记B=[*],则A(α1,α2)=(α1,α2)B. 由于α1,α2线性无关,(α1,α2)是可逆矩阵,于是A相似于B. A和B的特征值一样. [*] 得A的特征值为-1,3.|A|=-3.

解析
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