设α1，α2，…，αn是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示。

admin2017-01-21 47

问题设α₁，α₂，…，α_n是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示。

选项

答案必要性：a₁，a₂，…，a_n是线性无关的一组n维向量，因此r（a₁，a₂，…，a_n）=n。对任一n维向量b，因为a₁，a₂，…，a_n，b的维数n小于向量的个数n+1，故a₁，a₂，…，a_n，b线性相关。综上所述r（a₁，a₂，…，a_n，b）=n。又因为a₁，a₂，…，a_n线性无关，所以n维向量b可由a₁，a₂，…，a_n线性表示。充分性：已知任一n维向量b都可由a₁，a₂，…，a_n线性表示，则单位向量组:ε₁，ε₂，…，ε_n可由 a₁，a₂，…，a_n线性表示，即 r（ε₁，ε₂，…，ε_n）=n≤r（a₁，a₂，…，a_n），又a₁，a₂，…，a_n是一组n维向量，有r（a₁，a₂，…，a_n）≤n。综上，r（a₁，a₂，…，a_n）=n。所以a₁，a₂，…，a_n线性无关。

解析

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考研数学三

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设α1，α2，…，αn是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示。

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