设α1,α2,α3都是矩阵A的特征向量,特征值两两不同,记γ=α1+α2+α3. ①证明γ,Aγ,A2γ线性无关,γ,Aγ,A2γ,A3γ线性相关. ②设α1,α2,α3的特征值依次为1,一1,2,记矩阵B=(γ,Aγ,A2γ),β=A3γ

admin2017-11-23  19

问题 设α1,α2,α3都是矩阵A的特征向量,特征值两两不同,记γ=α123
    ①证明γ,Aγ,A2γ线性无关,γ,Aγ,A2γ,A3γ线性相关.
    ②设α1,α2,α3的特征值依次为1,一1,2,记矩阵B=(γ,Aγ,A2γ),β=A3γ,求解线性方程组BX=β.

选项

答案(1)设α1,α2,α3 的特征值为a,b,c,由于它们两两不同,α1,α2,α3 线性无关, γ=α123,Aγ=aα1+bα2+cα3, A2γ=a2α1+b2α2+c2α3,A3γ=a3α1+b3α2+c3α3, 则γ,Aγ,A2γ对α1,α2,α3的表示矩阵为 [*] 其行列式为范德蒙行列式,并且(因为a,b,c两两不同)值不为0,于是r(γ,Aγ,A2γ)=r(α1,α2,α3)=3,因此γ,Aγ,A2γ无关. γ,Aγ,A2γ,A3γ可以用α1,α2,α3线性表示,因此线性相关. (2)γ=α123,Aγ=α1一α2+2α3,A2γ=α12+4α3,A3γ=α1一α2+8α3,B=(γ,Aγ,A2γ)=(α1,α2,α3) [*] β=A3γ=(α1,α2,α3) [*] 则BX=β具体写出就是 [*] 由于α1,α2,α3线性无关,它和 [*] 同解.解此方程组得唯一解(一2,1,2)T

解析
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