设随机变量 且协方差cov(X,Y)=则X与Y的联合分布为________.

admin2016-12-16  27

问题 设随机变量

且协方差cov(X,Y)=则X与Y的联合分布为________.

选项

答案[*]

解析 由X,Y所服从的分布即知
E(X)=3/4,E(Y)=1/2,且  E(XY)=P(X=1,Y=1).
今又已知cov(X,Y)=1/8,从而可由
cov(X,Y)=E(X Y)一E(X)E(Y)=1/8
求出    E(XY)=P(X=1,Y=1)=1/2.
有了这个数据,就可利用联合分布与边缘分布的关系求出其联合分布,
由题设易知,E(X)=
又cov(X,Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=E(XY)一
故E(XY)=
由于XY仅取0与1两个值,
E(XY)=1.P(XY=1)=P(X=1,Y=1)=
再根据联合分布与边缘分布的关系,即可求出X与Y的联合分布.事实上

由p12+p22=p12+1/2=1/2,得到p12=0.由
p11+p12=p11+0=1/4,即得  p11=1/4.
又由p11+p21=1/4+p21=1/2,得到p21=1/4.
于是得到其联合分布为

注意 大家知道由联合分布可求出边缘分布,但仅由边缘分布求不出联合分布.如果在给出边缘分布的同时还附加某些条件,如相互独立,或条件分布或某些概率值,则可求出其联合分布.上例就是在给出边缘分布的条件下,还给出了一个概率值P(X一1,Y=1)=E(XY)=1/2.
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