2. 考研
  3. 设f(x)在(a，b)内可导，证明：对于x，x0∈(a，b)且x≠x0时，f’(x)在(a，b)单调减少的充要条件是 f(x0)+f’(x0)(x－x0)＞f(x)． (*)

设f(x)在(a，b)内可导，证明：对于x，x0∈(a，b)且x≠x0时，f’(x)在(a，b)单调减少的充要条件是 f(x0)+f’(x0)(x－x0)＞f(x)． (*)

admin2019-03-12  34
问题 设f(x)在(a，b)内可导，证明：对于x，x0∈(a，b)且x≠x0时，f’(x)在(a，b)单调减少的充要条件是
           f(x0)+f’(x0)(x－x0)＞f(x)．    (*)
选项
答案充分性：设(*)成立，[*]x1，x2∈(a，b)且x1＜x2，则 f(x2)＜f(x1)+f’(x1)(x2－x1)，f(x1)＜f(x2)+f’(x2)(x1－x2)． 两式相加可得[f’(x1)－f’(x2)](x2－x1)＞0，于是由x12知f’(x1)＞f’(x2)，即f’(x)在(a，b)单调减少． 必要性：设f’(x)在(a，b)单调减少．对于[*]x，x0∈(a，b)且x≠x0，由微分中值定理得 f(x)－[f(x0)+f’(x0)(x－x0)]=[f’(ξ)－f’(x0)](x－x0)＜0， 其中ξ在x与x0之间，即(*)成立．
解析
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考研数学三

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