设A是3阶矩阵α1，α2，α3是3维线性无关的列向量，且 Aα1=α1-α2+3α3， Aα2=4α1-3α2+5α3， Aα3=0. 求矩阵A的特征值和特征向量．

admin2016-10-20 34

问题设A是3阶矩阵α₁，α₂，α₃是3维线性无关的列向量，且
Aα₁=α₁-α₂+3α₃， Aα₂=4α₁-3α₂+5α₃， Aα₃=0.
求矩阵A的特征值和特征向量．

选项

答案由Aα₃=0=0α₃，知λ=0是A的特征值，α₃是λ=0的特征向量．由已知条件，有 A(α₁，α₂，α₃₂)=(α₁-α₂+3α₃，4α₁-3α₂+5α₃，0) =(α₁，α₂，α₃)[*] 记P=(α₁，α₂，α₃)，由α₁，α₂，α₃线性无关，知矩阵P可逆，进而 P^-1AP=B，其中B=[*] 因为相似矩阵有相同的特征值，而矩阵B的特征多项式｜λE-B｜=[*]=λ(λ+1)²，所以矩阵A的特征值是：-1，-1，0．对于矩阵B， [*] 所以矩阵B关于特征值λ=-1的特征向量是β=(-2，1，1)^T．若Bβ=λβ，即(P^-1AP)β=λβ，亦即λ(Pβ)=λ(Pβ)，那么矩阵A关于特征值λ-1的特征向量是 Pβ=(α₁，α₂，α₃)[*]=-2α₁+α₂+α₃．因此k₁(-2α₁+α₂+α₃)，k₂α₃分别是矩阵A关于特征值λ=-1和λ=0的特征向量，(k₁k₂≠0)．

解析

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考研数学三

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