设A为n阶矩阵，AT是A的转置矩阵，对于线性方程组(Ⅰ)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0，必有( )

admin2019-01-06 24

问题设A为n阶矩阵，A^T是A的转置矩阵，对于线性方程组(Ⅰ)Ax=0和(Ⅱ)A^TAx=0，必有( )

选项 A、(I)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也是(Ⅰ)的解．
B、(I)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．
C、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．
D、(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也不是(Ⅱ)的解．

答案A

解析如果α是(Ⅰ)的解，有Aα=0，可得
A^TAα=A^T(Aα)=A^T0=0，
即α是(Ⅱ)的解．故(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解．
反之，若α是(Ⅱ)的解，有A^TAα=0，用α^T左乘可得
α^T(A^TAα)=(α^TA^T)(Aα)=(Aα)^T(Aα^T)=α^T0=0，
若设Aα=(b₁，b₂，…，b_n)，那么

即Aα=0．亦即α是(Ⅰ)的解．因此(Ⅱ)的解也必是(Ⅰ)的解．所以应选A．

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考研数学三

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