2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，｜f(x)dx＝0．证明： 存在η∈(a，b)，使得f"(η)－3f’(η)＋2f(η)＝0．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，｜f(x)dx＝0．证明： 存在η∈(a，b)，使得f"(η)－3f’(η)＋2f(η)＝0．

admin2019-11-25  38
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，｜f(x)dx＝0．证明：
存在η∈(a，b)，使得f"(η)－3f’(η)＋2f(η)＝0．
选项
答案令g(x)＝e－xf(x)，g(a)＝g(c)＝g(b)＝0，由罗尔定理，存在η1∈(x，c)，η2∈(c，b)，使得g’(η1)＝g’(η2)＝0，而g’(x)＝e－x[f’(x)－f(x)]且e－x≠0，所以f’(η1)－f(η1)＝0,f’(η2)－f(η2)＝0． 令φ(x)＝e－2x[f’(x)－f(x)]，φ(η1)＝φ(η2)＝0，由罗尔定理，存在η∈(η1，η2)[*](a，b)，使得φ’(η)＝0，而φ’(x)＝e－2x[f”(x)－3f’(x)＋2f(x)]且e－2x≠0，所以f”(η)－3f’(η)＋2f(η)＝0．
解析
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考研数学三

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