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设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是相应的特征向量．证明：向量组A(ξ1+ξ2)，A(ξ1+ξ3)，A(ξ3+ξ1)线性无关的充要条件是A是可逆矩阵．
设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是相应的特征向量．证明：向量组A(ξ1+ξ2)，A(ξ1+ξ3)，A(ξ3+ξ1)线性无关的充要条件是A是可逆矩阵．
admin
2018-09-25
19
问题
设A是3阶矩阵，λ
1
，λ
2
，λ
3
是三个不同的特征值，ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
是相应的特征向量．证明：向量组A(ξ
1
+ξ
2
)，A(ξ
1
+ξ
3
)，A(ξ
3
+ξ
1
)线性无关的充要条件是A是可逆矩阵．
选项
答案
A(ξ
1
+ξ
2
)，A(ξ
2
+ξ
3
)，A(ξ
3
+ξ
1
)线性无关 <=>λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
，λ
2
ξ
2
+λ
3
ξ
3
，λ
3
ξ
3
+λ
1
ξ
1
线性无关 <=>[λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
，λ
2
ξ
2
+λ
3
ξ
3
，λ
3
ξ
3
+λ
1
ξ
1
]=[ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
] [*] 的秩为3 <=>｜A｜=λ
1
λ
2
λ
3
≠0，A是可逆矩阵(因为ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
线性无关， [*] =2λ
1
λ
2
λ
3
)．
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/lu2RFFFM
0
考研数学一
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