已知y1=xex+e2x和y2=xex+e-x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解,则此方程为 ( )

admin2018-09-20  32

问题 已知y1=xex+e2x和y2=xex+e-x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解,则此方程为    (    )

选项 A、y"一2y’+y=e2x
B、y"一y’一2y=xex
C、y"一y’一2y=ex一2xex
D、y"一y=e2x

答案C

解析 非齐次线性方程两解之差必为对应齐次方程之解,由y1一y2=e2x一e-x及解的结构定理知对应齐次方程通解为y=C1e2x+C2e-x,故特征根r1=2,r2=一1.对应齐次线性方程为
    y"一y’一2y=0.
    再由特解y*=xex知非齐次方程的自由项
    f(x)=(y*)”一(y*)’一2y*=ex一2xex
于是所求方程为
    y"一y’一2y=ex一2xex
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