2. 考研
  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)＝(1－a)x12＋(1－a)x22＋2x32＋2(1＋a)x1x2的秩为2．(1)求a的值；(2)求正交变换x＝Qy，把f(x1，x2，x3)化为标准形；(3)求方程f(x1，x2，x3)＝0的解．

已知二次型f(x1，x2，x3)＝(1－a)x12＋(1－a)x22＋2x32＋2(1＋a)x1x2的秩为2．(1)求a的值；(2)求正交变换x＝Qy，把f(x1，x2，x3)化为标准形；(3)求方程f(x1，x2，x3)＝0的解．

admin2020-06-05  23
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)＝(1－a)x12＋(1－a)x22＋2x32＋2(1＋a)x1x2的秩为2．(1)求a的值；(2)求正交变换x＝Qy，把f(x1，x2，x3)化为标准形；(3)求方程f(x1，x2，x3)＝0的解．
选项
答案(1)二次型f(x1，x2，x3)的矩阵为 A＝[*] 由于二次型f(x1，x2，x3)的秩为2，故R(A)＝2，可得｜A｜＝0，而 ｜A｜＝[*]＝﹣4a 所以a＝0． (2)矩阵A的特征多项式为 ｜A－λE｜＝[*] ＝﹣λ(λ－2)2 因此，可得A的特征值为λ1＝λ2＝2，λ3＝0． 当λ1＝λ2＝2时，解方程(A－2E)x＝0．由 A－2E＝[*] 得基础解系为p1＝(1，1，0)T，p2＝(0，0，1)T．注意p1，p2正交，只需将其单位化 q1＝[*]，q2＝(0，0，1)T 当λ3＝0时，解方程(A－0E)x＝0．由 (A－0E)＝[*] 得基础解系为p3＝(﹣1，1，0)T，将其单位化得q3＝[*]．于是正交变换 [*] 可把二次型f(x1，x2，x3)化为标准形2y12＋2y22． (3)方法一 由x＝Qy得 f(x1，x2，x3)＝xTAx＝yT[*]y＝2y12＋2y22 故可由f(x1，x2，x3)＝0得y1＝0，y2＝0，所以f(x1，x2，x3)＝0的解为y1＝0，y2＝0，代入 [*] 得[*]，x3＝0．令[*]y3＝k，得方程f(x1，x2，x3)＝0的解为(﹣k，k，0)T，k为任意实数． 方法二 由f(x1，x2，x3)＝x12＋x22＋2x32＋2x1x2＝0得f(x1，x2，x3)＝(x1＋x2)2＋2x32＝0，即x1＋x2＝0且x3＝0，从而方程f(x1，x2，x3)＝0的通解为k(1，﹣1，0)T，其中k为任意实数．
解析
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