设A为三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，令β＝α1+α2+α3。证明：向量组β，Aβ，A2β线性无关；

admin2017-02-13 40

问题设A为三阶矩阵，λ₁，λ₂，λ₃是A的三个不同的特征值，对应的特征向量分别为α₁，α₂，α₃，令β＝α₁+α₂+α₃。
证明：向量组β，Aβ，A²β线性无关；

选项

答案设k₁，k₂，k₃是实数，满足k₁β+k₂AB＋k₃A²β=0，根据已知有Aα_i=λ_iα_i，(i=1，2，3)，所以 AB=Aα₁+Aα₂+Aα₃=λ₁α₁+λ₂α₂+λ₃α₃， A²β=λ₁²α₁+λ₂²α₂+λ₃²α₃，将上述结果代入k₁β+k₂AB+k₃A²B=0可得 (k₁+k₂λ₁+k₃λ₁²)α₁+(k₁+k₂λ₂+k₃λ₂²)α₂+(k₁+k₂λ₃+k₃λ₃²)α₃)α₃=0。 α₁，α₂，α₃是三个不同特征值对应的特征向量，则三个向量必定线性无关，因此 [*] 由于该线性方程组的系数矩阵的行列式[*]≠0，因此k₁=k₂=k₃=0，故β，Aβ，A²β线性无关。

解析

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考研数学三

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设A为三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，α3，令β＝α1+α2+α3。证明：向量组β，Aβ，A2β线性无关；

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设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP=若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3，)，则QTAQ为

求微分方程y"-2y’-e2x=0满足条件y(0)=1，y’(0)=1的解．

求下列向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表示：α1=(1，2，1，3)，α2=(4，-1，-5，-6)，α3=(-1，-3，-4，-7)，α4=(2，1，2，3)；

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微分方程dy/dx=y/x-1/2(y/x)3满足y丨x=1=1的特解为y=_________.

设A=E-ξξT，其中层为n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：A2=A的充要条件是ξTξ=1；

设向量组α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，p+2)T，α4=(-2，-6，10，P)T．P为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组．

已知向量组(I)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α4，α5．如果各向量组的秩分别为r(I)=r(II)=3，r(Ⅲ)=4．证明向量组α1，α2，α3，α5-α4的秩为4．

已知齐次线性方程组i:x1+2x2+3x3=0；2x1+3x2+5x3=0；x1+2x2+ax3=0；和ii:x1+bx2+cx3=0；2x1+b2x2+(c+1)x3=0；同解，求a，b，c的值．

已知f(x)是微分方程xf’(x)-f(x)=满足f(1)=0的特解，则∫01f(x)dx=_________．

法国最高行政法院最主要的职权是()

现浇式钢筋混凝土肋形楼盖由()和楼板组成。

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