[2005年] 设有三元方程xy一zlny+exz=1,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程( ).

admin2019-04-05  57

问题 [2005年]  设有三元方程xy一zlny+exz=1,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(  ).

选项 A、只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y)
B、可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y)
C、可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y)
D、可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z)

答案D

解析 利用定理1.4.2.2确定正确选项.
仅(D)入选.F(x,y,z)=0,其中F(x,y,z)=xy—zlny+exz一1.显然,F在点(0,1,1)附近对x,y,z均有连续偏导数,且F(0,1,1)=0.
  相应的三个偏导数
  F′g∣(0,1,1)=(一lny+xexz)∣(0,1,1)=0,
F′y∣(0,1,1)=(x—z/y)∣(0,1,1)=一1≠0,  F′x∣(0,1,1)=(y+zexz)∣(0,1,1)=2≠0.
由定理1.4.2.2(隐函数存在定理)知,在点(0,1,1)的一个邻域内,由方程F(x,y,z)=xy—zlny+exz一l=0可以确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z),x=x(y,z).
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