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  3. 设函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)=g(b)=0，g′(x)＜0，试证明：存在ξ∈(a，b)使=0．

设函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)=g(b)=0，g′(x)＜0，试证明：存在ξ∈(a，b)使=0．

admin2019-09-27  44
问题 设函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)=g(b)=0，g′(x)＜0，试证明：存在ξ∈(a，b)使=0．
选项
答案令φ(x)=f(x)∫xbg(t)dt+g(x)∫axf(t)dt， 则φ(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且 φ′(x)=[f′(x)∫xbg(t)dt－f(x)g(x)]+[g(x)f(x)+g′(x)∫axf(t)dt] =f′(x)∫xbg(t)dt+g′(x)∫axf(t)dt， 因为φ(a)=φ(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)使φ′(ξ)=0，即 f′(ξ)∫ξbg(t)dt+g′(ξ)∫aξf(t)dt=0， 由于g(b)=0及g′(x)＜0，所以区间(a，b)内必有g(x)＞0， 从而就有∫xbg(t)dt＞0，于是有[*]=0．
解析
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考研数学一

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