设4阶矩阵A=(α1,α2,α3,α4),方程组Ax=β的通解为(1,2,2,1)T+c(1,一2,4,0)T,c任意. 记B=(α3,α2,α1,β-α4).求方程组Bx=α1一α2的通解.

admin2022-10-13  19

问题 设4阶矩阵A=(α1,α2,α3,α4),方程组Ax=β的通解为(1,2,2,1)T+c(1,一2,4,0)T,c任意.
记B=(α3,α2,α1,β-α4).求方程组Bx=α1一α2的通解.

选项

答案首先从AX=β的通解为(1,2,2,1)T+c(1,一2,4,0)T可得到下列讯息: ①Ax=0的基础解系包含1个解,即 4一r(A)=1, 得r(A)=3.即 r(α1,α2,α3,α4)=3. ②(1,2,2,1)T是Ax=β解,即 α1+2α2+2α34=β. ③(1,一2,4,0)T是Ax=0解,即 α1-2α2+4α3=0 α1,α2,α3线性相关,r(α1,α2,α3)=2. 显然B(0,一1,1,0)T1一α2,即 (0,-1,1,0)T 是Bx=α1一α2的一个解. 由②,B=( α3,α2,α1,β一α4)=(α3,α2,α1,α1+2α2+2α3), 于是 r(B)=r(α3,α2,α1,α1+2α2+2α3)=r(α1,α2,α3)=2. 则Bx=0的基础解系包含解的个数为4一r(B)=2个. α1-2α2+4α3=0 说明(4,一2,1,0)T是Bx=0的解;又从 B=(α3,α2,α1,α1+2α2+2α3) 容易得到B(一2,一2,一1,1)T=0,说明(一2,一2,一1,1)T也是Bx=0的解.于是(4,一2,1,0)T和(一2,一2,一1,1)T构成Bx=0的基础解系. Bx=α12的通解为: (0,一1,1,0)T+c1(4,一2,1,0)T+c2(一2,一2,一1,1)T,c1,c2任意.

解析
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