2. 考研
  3. 设4阶矩阵A=(α1，α2，α3，α4)，方程组Ax=β的通解为(1，2，2，1)T+c(1，一2，4，0)T，c任意． 记B=(α3，α2，α1，β-α4)．求方程组Bx=α1一α2的通解．

设4阶矩阵A=(α1，α2，α3，α4)，方程组Ax=β的通解为(1，2，2，1)T+c(1，一2，4，0)T，c任意． 记B=(α3，α2，α1，β-α4)．求方程组Bx=α1一α2的通解．

admin2022-10-13  16
问题 设4阶矩阵A=(α1，α2，α3，α4)，方程组Ax=β的通解为(1，2，2，1)T+c(1，一2，4，0)T，c任意．
记B=(α3，α2，α1，β-α4)．求方程组Bx=α1一α2的通解．
选项
答案首先从AX=β的通解为(1，2，2，1)T+c(1，一2，4，0)T可得到下列讯息： ①Ax=0的基础解系包含1个解，即 4一r(A)=1， 得r(A)=3．即 r(α1，α2，α3，α4)=3． ②(1，2，2，1)T是Ax=β解，即 α1+2α2+2α3+α4=β． ③(1，一2，4，0)T是Ax=0解，即 α1-2α2+4α3=0 α1，α2，α3线性相关，r(α1，α2，α3)=2． 显然B(0，一1，1，0)T=α1一α2，即 (0，-1，1，0)T 是Bx=α1一α2的一个解． 由②，B=( α3，α2，α1，β一α4)=(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3)， 于是 r(B)=r(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3)=r(α1，α2，α3)=2． 则Bx=0的基础解系包含解的个数为4一r(B)=2个． α1-2α2+4α3=0 说明(4，一2，1，0)T是Bx=0的解；又从 B=(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3) 容易得到B(一2，一2，一1，1)T=0，说明(一2，一2，一1，1)T也是Bx=0的解．于是(4，一2，1，0)T和(一2，一2，一1，1)T构成Bx=0的基础解系． Bx=α1-α2的通解为： (0，一1，1，0)T+c1(4，一2，1，0)T+c2(一2，一2，一1，1)T，c1，c2任意．
解析
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考研数学一

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