设A为m阶实对称阵且正定,B为m×n实矩阵,BT为B的转置矩阵.试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.

admin2018-08-03  36

问题 设A为m阶实对称阵且正定,B为m×n实矩阵,BT为B的转置矩阵.试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n.

选项

答案必要性:设BTAB为正定矩阵,则对任意的实n维列向量x≠0,有xT(BTAB))x>0.即 (Bx)TA(Bx)>0 于是Bx≠0.因此,Bx=0只有零解,从而有r(B)=n. 充分性:因(BTAB)T=BTATB=BTAB,故BTAB为实对称矩阵.若r(B)=n,则齐次线性方程组Bx=0 只有零解,从而对任意实n维列向量x≠0,有Bx≠0.又A为正定矩阵,所以对于Bx≠0,有(Bx)TA(Bx)=xT(BTAB)x>0.于是当x≠0时,xT(BTAB)x>0,故BTAB为正定矩阵.

解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/kV2RFFFM
0

最新回复(0)