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设A是n阶矩阵,A经过初等行变换得到B,则正确的是 ( )
设A是n阶矩阵,A经过初等行变换得到B,则正确的是 ( )
admin
2022-06-09
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问题
设A是n阶矩阵,A经过初等行变换得到B,则正确的是 ( )
选项
A、A,B的列向量组是等价向量组
B、A,B的行向量组是等价向量组
C、非齐次线性方程组Ax=b与Bx=b是同解方程组
D、|A|=|B|
答案
B
解析
由已知,存在可逆矩阵Q,使得QA=B,将A,B按行分块,有QA=
所以β
i
=q
i1
a
1
+q
i2
a
2
+…+q
in
a
n
,i=1,2,…,n,故B的行向量β
i
.可由A的行向量组a
1
,a
2
,…,a
n
线性表示,又由于Q可逆,故
A=Q
-1
B=Q
-1
所以A的行向量a
i
(i=1,2,…,n)也可由B的行向量组线性表示,B正确,对于A,如
A=
,B=
,Q=
显然A,B的列向量组不能互相线性表示,故不等价,对于C,由Q可逆,可知Ax=0与Bx=0同解,但不是对增广矩阵作初等行变换,故
Ax=b与Bx=b不一定同解,
对于D,由QA=B,可知|Q||A|=|B|,又由于|Q|不一定等于1,故D不正确
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考研数学二
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