设二次型f（x1，x2，x3）=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为（Ⅰ）求A；（Ⅱ）证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

admin2017-01-21 36

问题设二次型f（x₁，x₂，x₃）=x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为y₁²+y₂²，且Q的第三列为

（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

选项

答案（Ⅰ）由题意知Q^TAQ=Λ，其中Λ=[*] 则A=QΛQ^T，设Q的其他任一列向量为（x₁，x₂，x₃）^T 。因为Q为正交矩阵，所以（x₁，x₂，x₃）[*] 即x₁+x₃=0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为α₁=（—1，0，1）^T，α₂=（0，1，0）^T。把α₁单位化得β₁=[*]（—1，0，1）^T，所以 [*] （Ⅱ）证明：因为（A+E）^T=A^T+E=A+E，所以A+E为实对称矩阵。又因为A的特征值为1，1，0，所以A+E特征值为2，2，1，都大于0，因此A+E为正定矩阵。

解析

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考研数学三

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设二次型f（x1，x2，x3）=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第三列为（Ⅰ）求A；（Ⅱ）证明A+E为正定矩阵，其中E为三阶单位矩阵。

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设函数z=f(x，y)在点(1，1)处可微，且f(1，1)=1，

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