设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,证明必存在ξ,η∈(a,b),使得eη-ξ[f(η)+f’(η)]=1。

admin2019-02-26  21

问题 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,证明必存在ξ,η∈(a,b),使得eη-ξ[f(η)+f’(η)]=1。

选项

答案设F(x)=exf(x),由F(x)及ex在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,均满足拉格朗日中值定理条件,因此,存在ξ,η∈(a,b),使得 F(b)-F(a)=ebf(b)-eaf(a) =F’(η)(b-a) =eη[f’(η)+f(η)](b-a), eb-ea=eξ(b-a)。 将以上两式相比,且由f(a)=f(b)=1,整理后有 eη-ξ[η)+f’(η)]=1。

解析
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