[2011年] 证明方程恰有两个实根.

admin2021-01-25  45

问题 [2011年]  证明方程恰有两个实根.

选项

答案证一 设[*]显然f(x)在(-∞,+∞)内可导,且 [*] 令f’(x)=0,得其驻点[*]易看出 当[*]时,f’(x)≤0,f(x)在[*]上单调减少; 当[*]f’(x)≥0,f(x)在[*]上单调增加; 当[*]f’(x)≤0,f(x)在[*]上单调减少. 综上所述,在区间[*]上,f(x)在[*]处取极(最)小值,且 [*] 由命题1.2.3.7知,[*]是函数f(x)在[*]上唯一的零点. 又在[*]内,因[*]且[*]由定理1.2.3.1(广义零点定理)知,至少存在一点ξ,使f(ξ)=0.又f(x)在该区间内f’(x)<0,故f(x)在该区间内单调减少,故f(x)=0在此区间内只有一根. 综上讨论可知,f(x)在(-∞,+∞)内恰有两个零点,即原方程恰有两个实根. 证二 由证一的讨论易知,[*]是f(x)在区间[*]上的最大值M.因M>0,由命题1.2.3.7知,f(x)与x轴只有两个交点,显然其中一交点为[*](因[*]又f(x)在[*]内单调减少,除[*]外,f(x)再无别的零点.故f(x)在(-∞,+∞)内只有两个零点. 注:命题1.2.3.1设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导. (1)若f’(x)>0(或f’(x)<0),x∈(a,b),则函数在区间(a,b)内单调增加(或单调减少),对应区间(a,b)称为f(x)单调增加(或单调减少)区间. (2)f(x)在[a,b]上单调增加(或单调减少)的充要条件是除了有限多个点x∈(a,b)使f’(x)=0外,对于其他x∈(a,b),都有f’(x)>0(或f’(x)<0). (3)f(x)在[a,b]上单调不减(或单调不增)的充要条件是对于任意x∈(a,b),都有f’(x)≥0(或f’(x)≤0). 命题1.2.3.7 设f(x)在[a,b]上连续(a,b可为有限数,也可为无穷),且limf(x)>0(或<0),[*](或<0),存在c∈(a,b),使f(x)在(a,c)内单调减少(或单调增加),在(c,b)内单调增加(或单调减少),即在[a,b]上f(x)仅在c处达到极(最)小值m(或极(最)大值M),则 (1)当m>0(或M<0)时,在[a,b]上f(x)与x轴没有交点,即f(x)=0在[a,b]上没有实根; (2)当m=0(或M=0)时,在[q,b]上f(x)与x轴只有一个交点,即f(x)=0在[a,b]上只有一个实根; (3)当m<0(或M>0)时,在[a,b]上f(x)与x轴只有两个交点,即f(x)=0在[a,b]上只有两个实根.

解析
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