设有齐次线性方程组试问a为何值时，该方程组有非零解，并求其通解．

admin2013-02-27 45

问题设有齐次线性方程组

试问a为何值时，该方程组有非零解，并求其通解．

选项

答案设齐次方程组的系数矩阵为A，则丨A丨=[a+1/2(n+1)n]a^n-1．那么，Ax=0有非零解丨A丨=0 a=0或a=-1/2(n+1)n．当a=0时，对系数矩阵A作初等变换，有 [*] 故方程组的同解方程组为x₁+x₂+…+x_n=0，由此得基础解系为 η₁=(-1，1，0，…，0)^T， η₁=(-1，0，1，…，0)^T， η_n-1=(-1，0，0，…，1)^T．于是方程组的通解为x=k₁η₁+…+k_n-1η_n-1，其中k₁,...,k_n-1为任意常数．当a=-1/2(n+1)n时，对系数矩阵作初等行变换，有 [*] 故方程组的同解方程组为[*]由此得基础解系为η=(1，2，…，n)^T，于是方程组的通解为x=kη其中k为任意常数．

解析确定参数，使包含n个未知量和n个方程的齐次线性方程组有非零解，通常用两个方法：一是对其系数矩阵作初等行变换化成阶梯形；再就是由其系数行列式为零解出参数值．本题的关键是参数n有两个值，对每个值都要讨论．

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考研数学三

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