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  3. (2001年试题，九)设α1，α2……αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，β3=t1α1+t2α1，其中t1，t2为实常数，试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs，也为Ax=0的一个基

(2001年试题，九)设α1，α2……αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，β3=t1α1+t2α1，其中t1，t2为实常数，试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs，也为Ax=0的一个基

admin2014-05-20  29
问题 (2001年试题，九)设α1，α2……αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，β3=t1α1+t2α1，其中t1，t2为实常数，试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs，也为Ax=0的一个基础解系．
选项
答案根据题设βi(i=1，2，…，s)是α1，α2……αs的线性组合，因此βi(i=l，2，…，s)都是Ax=0的解，即Aβi=0(i=1，2，…，s)题目待求结论要求βi(i=1，2，…，s)也是Ax=0的基础解系，结合已知，这等价于要求β1β2……βt，线性无关，于是设c1β1+c2β2+…+csβs=0将已知βi(i=1，2，…，s)由αi(i=l，2，…，s)线性表示的已知表达式代入上式并化简得(t1c1+t2cs)α1+(t2c1+t1c2)α2+…+(t2cs-1一1+t1cs)αs=0因为α1，α2……αs是线性无关的，因此得到关于c1，c2……cs的方程组如下[*]只要该方程组只有零解，即可得出t1,t2应满足的关系，该方程组行列式为[*]因此当s为偶数时，｜t1｜≠｜t2｜；当s为奇数时，t1≠一t2，有β1β2……βs也为Ax=0的一个基础解系．
解析 本题涉及基础解系的概念和线性无关的证明以及行列式的计算，综合性很强．
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考研数学一

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