已知非齐次线性方程组 有三个线性无关的解。 证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2;

admin2018-04-12  57

问题 已知非齐次线性方程组

有三个线性无关的解。
证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2;

选项

答案设α1,α2,α3是方程组Ax=β的三个线性无关的解,其中 [*] 则有A(α1一α2)=0,A(α1一α3)=0。 那么α1一α2,α1一α3是对应齐次线性方程组Ax=0的解,且线性无关(否则,易推出α1,α2,α3线性相关,矛盾)。 所以n一r(A)≥2,即4一r(A)≥2[*]r(A)≤2。又矩阵A中有一个2阶子式[*]=一1≠0,所以r(A)≥2。因此,r(A)=2。

解析 非齐次线性方程组有三个线性无关的解,可以得到齐次线性方程组有两个线性无关的解,由于基础解系中有4一r(A)个向量,由此可以得到r(A)≤2;接下来再证明r(A)≥2即可。
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