2. 考研
  3. 没A为n阶矩阵，λ1和λ2是A的两个不同的特征值，ξ1，ξ2分别是A的对应于λ1，λ2的特征向量，证明ξ1+ξ2不是A的特征向量．

没A为n阶矩阵，λ1和λ2是A的两个不同的特征值，ξ1，ξ2分别是A的对应于λ1，λ2的特征向量，证明ξ1+ξ2不是A的特征向量．

admin2019-07-22  44
问题 没A为n阶矩阵，λ1和λ2是A的两个不同的特征值，ξ1，ξ2分别是A的对应于λ1，λ2的特征向量，证明ξ1+ξ2不是A的特征向量．
选项
答案由Aξ1=λ1ξ1，Aξ2=λ2ξ2，有A(ξ1+ξ2)=Aξ1+Aξ2=λ1ξ1+λ2ξ2． 若ξ1+ξ2是A的特征向量，则应存在数λ，使A(ξ1+ξ2)=λ(ξ1+ξ2) =λξ1+λξ2，从而λξ1+λξ2 =λ1ξ1+λ2ξ2，即(λ—λ1)ξ1+(λ—λ2)ξ2=0． 因为ξ1，ξ2线性无关，所以λ=λ1=λ2，这与λ1≠λ2矛盾． 因此，ξ1+ξ2不是A的特征向量．
解析 本题主要考查矩阵特征值、特征向量的概念和属于不同特征值的特征向量线性无关这一知识点．利用反证法可证明本题．
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考研数学二

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