设向量a=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T都是非零向量,且满足条件aTβ=0,记n阶矩阵A=aβT.求: (Ⅰ)A2; (Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量.

admin2013-09-15  75

问题 设向量a=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T都是非零向量,且满足条件aTβ=0,记n阶矩阵A=aβT.求:
  (Ⅰ)A2
  (Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量.

选项

答案(Ⅰ)由题设,a,β都是非零向量,且aT=o,则βTa=0,则A2=(aβT)(aβT)=(βTa)aβT=O,即A2为零矩阵. (Ⅱ)由特征值及特征向量的定义,设λ为A的特征值,x为其相应的特征向量, 则Ax=λx,x≠0,由前述知A2=D,从而0=AAx=λAx=λ2x,即λ=0,所以A的所有特征值都为0. 又A=[*],不失一般性,可设a1≠0,b1≠0, 则由初等行变换可化A为[*],由此Ax=0的基础解系为 [*] 所以A的特征向量为k1ξ1+k2ξ2+…+kn-1ξn-1,其中后。k1,k2,…,kn-1是不全为0的任意常数.

解析
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