设n为正整数,f(x)=xn+x-1. 对于(I)中的xn,证明存在并求此极限.

admin2018-07-23  33

问题 设n为正整数,f(x)=xn+x-1.
对于(I)中的xn,证明存在并求此极限.

选项

答案下面证数列{xn}单调增加.由 xn+1n+1+ xn+1-1=0 与xnn+ xn-1=0 两式相减,得 xn+1n+1-xnn+(xn-1-xn)=0. 但因0<xn-1<1,所以xn+1n> xn+1n·xn+1=xn-1n-1,于是有 0=xn+1n+1-xnn+(xn+1-xn) n+1n-xnn+(xn+1-xn) = (xn+1-xn)(xn+1n-1+ xn+2n-2xn+…+xnn-1)+(xn+1-xn) =(xn+1-xn)(xn+1n-1+ xn+2n-2xn+…+xnn-1+1). 上式第2个括号内为正,所以xn+1-xn>0,即数列{xn}严格单调增加且有上界1,所以 [*] 用反证法,如果0<a<1,将 1-xn=xn<an 两边令x→∞取极限,得 1-a≤0, 解得a≥1,与反证法的假设矛盾,所以a=1.证毕.

解析
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