设ai=[ai1,ai2,ain]T(i=l，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr，线性无关．已知β=[b1，b2，…，bn]T是线性方程组的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

admin2019-05-10 55

问题设a_i=[a_i1,a_i2,a_in]^T(i=l，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α₁，α₂，…，α_r，线性无关．已知β=[b₁，b₂，…，b_n]^T是线性方程组

的非零解向量，试判断向量组α₁，α₂，…，α_r，β的线性相关性．

选项

答案设出k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r+kβ=0，要对此等式两边同时左乘β^T恒等变形，证明k=0．再由α₁，α₂，…，α_r线性无关，证明k₁=k₂=…=k_r=0．解一因β是线性方程组AX=0的解，即Aβ=0，而A=[*]，由Aβ=[*]β=0得 α₁^Tβ=α₂^Tβ=…=α_r^Tβ=0，因而β^Tα₁=β^Tα₂=…=β^Tα_r=0．设 k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r+kβ=0．左乘β^T，利用β^Tα_i=0(i=1，2，…，r)得 k₁β^Tα₁+k₂β^Tα₂+…+k_rβ^Tα_r+kβ^Tβ=kβ^Tβ=0，但β≠0，所以β^Tβ=b₁²+b₂²+…+b_n²＞0，于是k=0．代入式①得k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r=0．但α₁，α₂，…，α_r线性无关，所以k₁=k₂=…=k_r=0，故α₁，α₂，…，α_r，β线性无关．解二反证法．若α₁，α₂，…，α_r，β线性相关，则β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_rα_r，于是β^Tβ=k₁β^Tα₁+k₂β^Tα₂+…+k_rβ^Tα_r=0，从而β=0，这与β是非零解向量矛盾，故α₁，α₂，…，α_r，β线性无关．

解析

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考研数学二

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设ai=[ai1,ai2,ain]T(i=l，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr，线性无关．已知β=[b1，b2，…，bn]T是线性方程组的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

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设α，β是n维非零列向量，A＝αβT＋βαT．证明：r(A)≤2．

证明：若矩阵A可逆，则其逆矩阵必然唯一．

设n维列向量α＝(a，0，…，0，a)T，其中a＜0，又A＝E－ααT，B＝E＋ααT，且B为A的逆矩阵，则a＝_______．

设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且g′(χ)≠0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得

设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得＝ξf′(ξ)．

设f(χ)可导，y＝f(cos2χ)，当χ＝－处取增量△χ＝－0．2时，△y的线性部分为0．2，求f′()．

设A为，n阶矩阵，若Ak-1α≠0，而Akα＝0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α线性无关．

设A为n阶矩阵，α1，α2，α3为n维列向量，其中α1≠0，且Aα1＝α1，Aα2＝α1＋α2，Aα3＝α2＋α3，证明：α1，α2，α3线性无关．

设向量组线性相关，但任意两个向量线性无关，求参数t．

碳水化合物的生理作用是()。

易燃液体是指易燃的()，但不包括由于其他特性已列入其他类别的液体。

最易造成呼吸困难的间隙感染为

下列哪些文书可以作为民事执行根据?

下列各项中，应计入制造费用的有()。

学生是学校的主体，是具有能动性的教育对象。()

请简述投资回收期指标的优缺点。

Theprototypingmethodisadynamicdesignprocesses,whichrequirespeoplewhouseprototypingmethodtohavethefollowingcapabilityof______.

Themeaningsof"science"and"technology"havechangedsignificantlyfromonegenerationtoanother.Moresimilaritiesthandif

Americans’circleofcloseconfidantshasshrunkdramaticallyinthepasttwodecadesbutthenumberofpeoplewhosaythey【M1】_

设ai=[ai1,ai2,ain]T(i=l，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr，线性无关．已知β=[b1，b2，…，bn]T是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

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