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[2009年] 若f″(x)不变号,且曲线y=f(x)在点(1,1)处的曲率圆为x2+y2=2.则函数f(x)在区间(1,2)内( ).
[2009年] 若f″(x)不变号,且曲线y=f(x)在点(1,1)处的曲率圆为x2+y2=2.则函数f(x)在区间(1,2)内( ).
admin
2021-01-19
28
问题
[2009年] 若f″(x)不变号,且曲线y=f(x)在点(1,1)处的曲率圆为x
2
+y
2
=2.则函数f(x)在区间(1,2)内( ).
选项
A、有极值点,无零点
B、无极值点,有零点
C、有极值点,有零点
D、无极值点,无零点
答案
B
解析
由曲率圆知曲线y=f(x)在点(1,1)处与x
2
+y
2
=2有相同的切线和曲率,从而可求出f′(1)与f″(1).其次由f″(x)不变号可判断函数f(x)在区间[1,2]上的单调性,从而无极值点.最后利用零点定理知f(x)有零点.
由曲率圆的定义知,曲率圆与曲线在点(1,1)处有相同切线与曲率,且在点(1,1)的附近有相同凹向.在x
2
+y
2
=2两边对x求导得x+yy′=0,将y(1)=1代入得到y′(1)=一1.
再次求导得到l+y
′2
+yy″=0,将y(1)=1,y′(1)=一1代入得到y″(1)=一2.由曲率圆的概念知,f′(1)=y′(1)=一l,f″(1)=y″(1)=-2.
又f″(x)不变号,故f″(x)<0,即f(x)是一个凸函数,且在[1,2]上f′(x)单调减少.
于是f′(x)≤f′(1)=一l<0,即在(1,2)上f(x)没有极值点.使用拉格朗日中值定理,得到
f(2)一f(1)=f′(ξ)<一1, ξ∈(1,2),
故f(2)=f′(ξ)+f(1)<-1+1=0,而f(1)=1>0(见图1.2.5.2),由零点定理知f(x)在区间(1,2)内有零点.仅(B)入选.
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