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设A是n阶矩阵,证明: (I)r(A)=1的充分必要条件是存在n阶非零列向量a,β,使得A=aβT; (Ⅱ)r(A)=1且tr(A)≠0,证明A可相似对角化.
设A是n阶矩阵,证明: (I)r(A)=1的充分必要条件是存在n阶非零列向量a,β,使得A=aβT; (Ⅱ)r(A)=1且tr(A)≠0,证明A可相似对角化.
admin
2021-10-02
48
问题
设A是n阶矩阵,证明:
(I)r(A)=1的充分必要条件是存在n阶非零列向量a,β,使得A=aβ
T
;
(Ⅱ)r(A)=1且tr(A)≠0,证明A可相似对角化.
选项
答案
(I)若r(A)=1,则A为非零矩阵且A的任意两行成比例,即 [*] 于是A=[*](b
1
,b
2
,…,b
n
),令a=[*],显然a,β都不是零向量且A=aβ
T
; 反之,若A=aβ
T
,其中A,β都是n维非零列向量,则r(A)=r(aβ
T
)≤r(a)=1,又因为a,β为非零列向量,所以A为非零矩阵,从而r(A)≥1,于是r(A)=1. (Ⅱ)因为r(A)=1,所以存在非零列向量a,J=β,使得A=aβ
T
,显然tr(A)=(a,β),因为tr(A)≠0,所以(a,β)=k≠0. 令AX=λX,因为A
2
=kA,所以λ
2
X=kλX,或(λ
2
一k
λ
)X=0,注意到X≠0,所以矩阵A 的特征值为λ=0或λ=k.因为λ
1
+λ
2
+…+λ
n
=tr(A)=k,所以λ
1
=k,λ
2
=λ
3
=…λ
n
=0,由r(OE—A)=r(A)=1,得A一定可以对角化.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/jFaRFFFM
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考研数学三
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