2. 考研
  3. 设y＝y(x)(x>0)是微分方程2y’’＋y’－y＝(4－6x>e﹣x的一个解且 (Ⅰ)求y(x)，并求y＝y(x)到x轴的最大距离； (Ⅱ)计算

设y＝y(x)(x>0)是微分方程2y’’＋y’－y＝(4－6x>e﹣x的一个解且 (Ⅰ)求y(x)，并求y＝y(x)到x轴的最大距离； (Ⅱ)计算

admin2019-06-06  25
问题 设y＝y(x)(x>0)是微分方程2y’’＋y’－y＝(4－6x>e﹣x的一个解且
(Ⅰ)求y(x)，并求y＝y(x)到x轴的最大距离；
(Ⅱ)计算
选项
答案(Ⅰ)2y’’＋y’－y＝(4－6x)e﹣x的特征方程为2λ2＋λ－1＝0，特征值为λ1＝﹣1，λ2＝[*]，则2y’’＋y’－y＝0的通解为y＝[*]令2y’’＋y’－y＝(4－6x)e﹣x的特解为y0＝(ax2＋bx)e﹣x，代入得a＝l，b＝0，得原方程的通解为y＝[*]由[*]得y(0)＝0，y’(0)＝0，代入通解得C1＝C2＝0，故y＝x2e﹣x．由y’＝(2x－x2)e﹣x＝0得x＝2，当x∈(0，2)时，y’＞0；当x>2时，y’<＜0，则x＝2为y(x)的最大值点，故最大距离为dmax＝y(2)＝4e﹣2． (Ⅱ)[*]
解析
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考研数学三

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