(90年)设f(χ)在闭区间[0,c]上连续,其导数f′(χ)在开区间(0,c)内存在且单调减小,f(0)=0,试应用拉格朗El中值定理证明不等式 f(a+b)≤f(a)+f(b) 其中a、b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c.

admin2021-01-25  50

问题 (90年)设f(χ)在闭区间[0,c]上连续,其导数f′(χ)在开区间(0,c)内存在且单调减小,f(0)=0,试应用拉格朗El中值定理证明不等式
    f(a+b)≤f(a)+f(b)
    其中a、b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c.

选项

答案要证f(a+b)≤f(a)+f(b),就是要证明f(a+b)-f(a)-f(b)≤0. 又f(0)=0,所以,只要证明f(a+b)-f(a)-f(b)+f(0)≤0. 而f(a+b)-f(a)-f(b)+f(0)=[f(a+b)-f(b)]-[f(a)-f(0)] =f′(ξ2)a-f(ξ1)a=a[f′(ξ2)-f(ξ1)] 0≤ξ1≤a,b≤ξ2≤a+b 又f′(χ)单调减少,则f′(ξ2)≤f′(ξ1),从而有f(a+b)-f(a)-f(b)+f(0)≤0. 故f(a+b)≤f(a)+f(b)

解析
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