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  3. 设f(x)在区间(一∞，+∞)内连续，下述4个命题不正确的是 ( )

设f(x)在区间(一∞，+∞)内连续，下述4个命题不正确的是 ( )

admin2018-03-30  36
问题 设f(x)在区间(一∞，+∞)内连续，下述4个命题不正确的是    (    )
选项 A、如果对于任意的常数a，总有∫-aaf(x)dx=0，则f(x)必是奇函数．
B、如果对于任意的常数a，总有∫-aaf(x)dx=2∫0af(x)dx，则f(x)必是偶函数．
C、如果对于任意的常数a及某正常数w，总有∫aa+wf(x)dx与以无关，则f(x)有周期w．
D、如果存在某常数w＞0，使∫0wf(x)dx=0，则∫0xf(t)dt有周期w．
答案D
解析 法一  证明(A)，(B)，(C)都正确．对于(A)，将a看成变量，∫-aaf(x)dx=0两边分别对a求导数，有f(a)一[一f(一a)]=0，f(a)=一f(一a)．由a的任意性，故知f(x)为奇函数．A正确．
类似可证(B)也正确．对于(C)，设对任意a，∫aa+wf(x)dx与a无关，于是(∫aa+wf(x)dx)’a=f(a+w)一f(a)=0，即对任意a，f(a+w)=f(a)成立．即f(x+w)=f(x)，所以f(x)具有周期w．(C)正确．(A)，(B)，(C)都正确，根据排除法，选D．
法二  举例说明存在某w＞0，有∫0wf(x)dx=0，但∫0x(t)dt不具有周期叫．如：f(x)=1一x，
∫02f(x)dx=∫02(1一x)dx=(x—)｜02=0，但f(t)dt=x一不是周期函数．
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考研数学三

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