2. 考研
  3. 已知A，B为三阶非零方阵， 为齐次线性方程组BX＝0的3个解向量．且AX＝β3有非零解． (1)求a，b的值； (2)求BX＝0的通解．

已知A，B为三阶非零方阵， 为齐次线性方程组BX＝0的3个解向量．且AX＝β3有非零解． (1)求a，b的值； (2)求BX＝0的通解．

admin2016-01-25  49
问题 已知A，B为三阶非零方阵，

为齐次线性方程组BX＝0的3个解向量．且AX＝β3有非零解．
(1)求a，b的值；
(2)求BX＝0的通解．
选项
答案(1)因B≠0，故r(B)≥1，因而BX＝0的基础解系所含解向量的个数为 n一r(B)≤3—1＝2个． 而β1，β2，β3均是BX＝0的解，故β1，β2，β3必线性相关，于是 ｜β1，β2，β3｜＝[*]＝0 解得a＝3b．又AX＝β3有非零解，即β3可由A的3个列向量 [*] 线性表示，由观察易看出 α3＝3α1＋2α2． 可见，β3可由α1，α2线性表示，因此β3，α1，α2线性相关，于是 ｜β3，α1，α2｜＝[*]＝0， 解得b＝5，从而a＝15． (2)由题设r(B)≥1，于是3一r(B)≤2，又已知β1，β2为BX＝0的两个线性无关的解，故3一r(B)≥2，所以3一r(B)＝2，β1，β2即可作为BX＝0的基础解系，故通解为 X＝k1β1＋k2β2 (k1，k2为任意常数)．
解析 因r(B)≥1，故β1，β2，β3必线性相关．又由AX＝β3知，β3可表示为A的3个列向量的线性组．由这两个线性关系式可求出a，b．
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考研数学三

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