设A是3阶矩阵,且有3个互相正交的特征向量,证明A是对称矩阵.

admin2016-10-20  28

问题 设A是3阶矩阵,且有3个互相正交的特征向量,证明A是对称矩阵.

选项

答案设A的特征值是λ1,λ2,λ3,相应的特征向量是α1,α2,α3.因为α1,α2,α3已两两正交,将其单位化为γ1,γ2,γ3,则γ1,γ2,γ3仍是A的特征向量,且P=(γ1,γ2,γ3)是正交矩阵,并有 [*] 从而由A=PAP-1=PAPT,得AT=(PAPT)T=(PT )TATPT=PAPT=A,即A是对称矩阵.

解析 非零正交向量组是线性无关的,故A有3个线性无关的特征向量,即A可以对角化,并且可以用正交变换化为对角形.
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