2. 考研
  3. 设曲线y=f（x），其中y=f（x）是可导函数，且f（x）＞0。已知曲线y=f（x）与直线y=0，x=1及x=t（t＞1）所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程。

设曲线y=f（x），其中y=f（x）是可导函数，且f（x）＞0。已知曲线y=f（x）与直线y=0，x=1及x=t（t＞1）所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程。

admin2019-03-12  79
问题 设曲线y=f（x），其中y=f（x）是可导函数，且f（x）＞0。已知曲线y=f（x）与直线y=0，x=1及x=t（t＞1）所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程。
选项
答案旋转体的体积为v=∫1tπf2（x）dx=π∫1tf2（x）dx，曲边梯形的面积为s=∫1tf（x）dx，则由题可知 π∫1tf2（x）dx=πt∫1tf（x）dx，即∫1tf2（x）dx=t∫1tf（x）dx。 两边对t求导可得f2（t）=∫1tf（x）dx+f（t），即f2（t）一tf（t）=∫1tf（x）dx，（*）等式两端求导可得2f（t）f’（t） — f（t）一tf’（t）=f（t），化简可得（2t）—t）f’（t）=2f（t），即[*]=1，解之得t=c．[*]。 在（*）式中令t=1，则f2（1） — f（1）=0，因为已知f（x）＞0，所以f（1）=1，代入 [*] 所以该曲线方程为2y+[*]—3x=0。
解析
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考研数学三

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