[2006年] 设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn(n=1,2,…).证明xn存在,并求该极限;

admin2021-01-15  26

问题 [2006年]  设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn(n=1,2,…).证明xn存在,并求该极限;

选项

答案由于当0<x<π时,0<sinx<x,由0<x1<π有0<x2=sinx1<x1<π,进一步有0<xn+1=sinxn<xn<π(n=1,2,…),则数列{xn}有界. 又[*](因xn>0),则xn+1<xn,可见数列{xn}单调减少.由单调减少有下界的数列必有极限知,极限[*]xn存在.记为a.在xn+1=sinxn两边取极限得到a=sina(0≤a≤π).显然a=0满足此式.除a=0外,若还有b≠0,0<b≤π也满足b=sinb,则φ(x)=x—sinx存在两点x=a,x=b(a≠b),使φ(A)=φ(B)=0.由罗尔定理知,存在介于a与b之间的ξ使φ’(ξ)=1-cosξ=0,0<ξ<π这是不可能的.故仅一点x=a=0使x=sinx,即[*]xn=0. 或由φ(x)=x-sinx在(-∞,+∞)单调上升(因φ’(x)=1一cosx≥0)可知,φ(x)=x—sinx有唯一零点,故a=0.

解析
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