设A是n阶反对称矩阵, (Ⅰ)证明:A可逆的必要条件是n为偶数;当n为奇数时,A*是对称矩阵; (Ⅱ)举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子; (Ⅲ)证明:如果λ是A的特征值,那么—λ也必是A的特征值.

admin2022-04-08  39

问题 设A是n阶反对称矩阵,
(Ⅰ)证明:A可逆的必要条件是n为偶数;当n为奇数时,A*是对称矩阵;
(Ⅱ)举一个4阶不可逆的反对称矩阵的例子;
(Ⅲ)证明:如果λ是A的特征值,那么—λ也必是A的特征值.

选项

答案(Ⅰ)按反对称矩阵定义:AT=一A,那么 |A|=|AT|=|—A|=(—1)n|A|,即[1—(—1)n]|A|=0. 若n=2k+1,必有|A|=0.所以A可逆的必要条件是n为偶数. 因AT=一A,由(A*)T=(AT)*有 (A*)T=(AT)*=(一A)*. 又因(kA)*=kn—1A*,故当n=2k+1时,有 (A*)T=(—1)2kA*=A*, 即A*是对称矩阵. (Ⅱ)例如,A=[*]是4阶反对称矩阵,且不可逆. (Ⅲ)若λ是A的特征值,有f λE—A J=0,那么 |—λE—A|=|(一λE—A)T|=|—λE—AT|=|—λE+A| =|一(λE—A)|=(一1)n|λE—A|=0, 所以一λ是A的特征值.

解析
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