(2006年)设数列{xn)满足0

admin2019-03-07  19

问题 (2006年)设数列{xn)满足01<π,xn+1=sinxn(n=1,2,…)。
    (I)证明存在,并求该极限;
    (Ⅱ)计算

选项

答案(I)先证明0<xn<π,n=1,2,3,…: 当n=1时,结论显然成立; 假设当n=k时,结论成立,也即0<xk<π,此时有xk+1=sinxk>O,同时也有sinxk≤1<π,因此,0<xk+1<π。由数学归纳法可知,0<xn<π,n=1,2,3,…。 再证明{xn}单调: 由于xn>0,可知xn+1=sinxn<xn,从而{xn}是单调递减的。 由单调有界收敛定理可知,极限[*]存在。令[*]在等式xn+1=sinxn两端同时令n→∞可得a=sina,解得a=0,也即[*] [*] 因此,这是一个1型的极限,运用重要极限计算可得 [*]

解析
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