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  3. 设线性非齐次方程组Ax=(α1,α2,α3,α4)x=α5有通解k(一1，2，0，3)T+(2，一3，1，5)T． 求方程组(α2,α3,α4)x=α5的通解；

设线性非齐次方程组Ax=(α1,α2,α3,α4)x=α5有通解k(一1，2，0，3)T+(2，一3，1，5)T． 求方程组(α2,α3,α4)x=α5的通解；

admin2016-03-05  52
问题 设线性非齐次方程组Ax=(α1,α2,α3,α4)x=α5有通解k(一1，2，0，3)T+(2，一3，1，5)T．
求方程组(α2,α3,α4)x=α5的通解；
选项
答案根据题意，非齐次线性方程组(α1，α2，α3，α4)x=α5，有通解k(一1，2，0，3)T+(2，一3，1，5)T，则有r(α1,α2,α3,α4)=r(α1,α2,α3,α4,α5)=3，又由对应齐次线性方程组的通解得一α1+2α2+3α4=0，即α1=2α2+3α4．若α2，α3，α4线性相关，则r(α1，α2，α3，α4)＜3，这和题设矛盾．故α2，α3，α4线性无关．由上述结论可知α2,α3,α4是α1,α2,α3,α4及α1,α2,α3,α4,α5的极大线性无关组，即α1，α5均可由α2,α3,α4线性表示，那么有r(α2,α3,α4)=r(α1,α3,α4,α5)=3．方程组 (α2,α3,α4)x=α5 (1)有唯一解．根据题意，α5可由α1,α2,α3,α4线性表示，且表示方法不唯一，k可取任意值，取k=2，使α5由α1,α2,α3,α4线性表示时，不出现α1，则有α5=α2+α3+11α4．故方程组(1)的通解(唯一解)为x=(1，1，11)T
解析
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考研数学二

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