设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明： (1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵； (2)当｜ε｜充分小时，A＋εB仍是正定矩阵．

admin2016-10-21 38

问题设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明：
(1)存在可逆矩阵P，使得P^TAP，P^TBP都是对角矩阵；
(2)当｜ε｜充分小时，A＋εB仍是正定矩阵．

选项

答案(1)因为A正定，所以存在实可逆矩阵P₁，使得p₁^TAP₁＝E．作B₁＝P₁^TBP₁，则B₁仍是实对称矩阵，从而存在正交矩阵Q，使得Q^TB₁Q是对角矩阵．令P＝P₁Q，则 P^TAP＝Q^TP₁^TAP₁Q＝E，P^TBP＝Q^TP₁^TBP₁Q＝Q^TB₁Q．因此P即所求． (2)设对(1)中求得的可逆矩阵P，对角矩阵P^TBP对角线上的元素依次为λ₁，λ₃，…，λ_n，记 M＝max{｜λ₁｜，｜λ₂｜，…，｜λ_n｜}．则当｜ε｜＜1／M时，E＋εP^TBP仍是实对角矩阵，且对角线上元素1＋ελ_i＞0，i＝1，2，…，n．于是E＋εP^TBP正定，P^T(A＋εB)P＝E＋εP^TBP，因此A＋εB也正定．

解析

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考研数学二

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设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明： (1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵； (2)当｜ε｜充分小时，A＋εB仍是正定矩阵．

考研数学二

求下列不定积分。

求极限

确定常数a，b，c的值，使得当x→0时，ex(1+bx+cx2)=1+ax+σ(x3)．

设在[0,+∞)上函数f(x)有连续导数，且f’(x)≥k＞0,f(0)＜0,证明：f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点。

判断级数的敛散性。

y=arctanx/(1+x2)，则y’=________．

y"－4y=e2x的通解为________。

设A是n(n>1)阶矩阵，满足Ak=2E(k>2，k∈Z+)，则(A+)k=()．

已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12，x22，x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12，则a=_______．

[*]由于Aα与α线性相关，则存在数k≠0使Aα＝kα，即a＝ka，2a＋3＝k，3a＋4＝k三式同时成立．解此关于a，k的方程组可得a＝－1，k＝1．

腹中气聚，攻窜胀痛，时聚时散，苔薄，脉沉弦，证属积聚的腹胀及腹部时有条状物聚起，重按则胀痛益甚，舌苔腐腻，脉弦滑，证属积聚的

慢性肺心病心力衰竭时，使用强心剂的情况是

(　　)是所有从业人员在职业活动中应该遵循的行为守则。

2，7，14，21，294，()

汽车销售量最低的企业是(　)。如果通用汽车每辆10.8万元，那么其销售额为(　)。

Itcanbeinferredfromthefirstparagraphthattheauthor______.Itdidn’tmattertherestoftheyearIwasthereuntil6or

Readthefollowingpassageandchoosethebestwordforeachspace.Theneedforasurgicaloperation,【C1】______anemergency

A、Aninformationcardofarestaurant.B、Hisownbusinesscard.C、Mr.Cooper’sbusinesscard.D、Anoteofwhattodo.A男士说，他还给了女

设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明： (1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵； (2)当｜ε｜充分小时，A＋εB仍是正定矩阵．

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求下列不定积分。

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确定常数a，b，c的值，使得当x→0时，ex(1+bx+cx2)=1+ax+σ(x3)．

设在[0,+∞)上函数f(x)有连续导数，且f’(x)≥k＞0,f(0)＜0,证明：f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点。

判断级数的敛散性。

y=arctanx/(1+x2)，则y’=________．

y"－4y=e2x的通解为________。

设A是n(n>1)阶矩阵，满足Ak=2E(k>2，k∈Z+)，则(A+)k=()．

已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12，x22，x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12，则a=_______．

[*]由于Aα与α线性相关，则存在数k≠0使Aα＝kα，即a＝ka，2a＋3＝k，3a＋4＝k三式同时成立．解此关于a，k的方程组可得a＝－1，k＝1．

腹中气聚，攻窜胀痛，时聚时散，苔薄，脉沉弦，证属积聚的腹胀及腹部时有条状物聚起，重按则胀痛益甚，舌苔腐腻，脉弦滑，证属积聚的

慢性肺心病心力衰竭时，使用强心剂的情况是

( )是所有从业人员在职业活动中应该遵循的行为守则。

2，7，14，21，294，()

汽车销售量最低的企业是( )。如果通用汽车每辆10.8万元，那么其销售额为( )。

Itcanbeinferredfromthefirstparagraphthattheauthor______.Itdidn’tmattertherestoftheyearIwasthereuntil6or

Readthefollowingpassageandchoosethebestwordforeachspace.Theneedforasurgicaloperation,【C1】______anemergency

A、Aninformationcardofarestaurant.B、Hisownbusinesscard.C、Mr.Cooper’sbusinesscard.D、Anoteofwhattodo.A男士说，他还给了女

(　　)是所有从业人员在职业活动中应该遵循的行为守则。

汽车销售量最低的企业是(　)。如果通用汽车每辆10.8万元，那么其销售额为(　)。