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  3. 设向量组B：b1…，br能由向量组A：a1，…as线性表示为 (b1…br)＝(a1…，as)K， 其中K为s×r矩阵，且向量组A线性无关证明向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)＝r．

设向量组B：b1…，br能由向量组A：a1，…as线性表示为 (b1…br)＝(a1…，as)K， 其中K为s×r矩阵，且向量组A线性无关证明向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)＝r．

admin2017-08-28  31
问题 设向量组B：b1…，br能由向量组A：a1，…as线性表示为
    (b1…br)＝(a1…，as)K，
    其中K为s×r矩阵，且向量组A线性无关证明向量组B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)＝r．
选项
答案必要性： 令B＝(b1，…，br)，A＝(a1，…，as)，则有B＝AK，由定理 r(B)＝r(AK)≤min{r(A)，r(K)}， 结合向量组B：b1，b2，…，br线性无关知r(B)＝r，故r(K)≥r． 又因为K为r×s阶矩阵，则有r(K)≤rain{r，s}． 且由向量组B：b1，b2，…，br能由向量组A：a1，a2，…，as线性表示，则有r≤s，即min{r，s}＝r． 综上所述 r≤r(K)≤r，即r(K)＝r． 充分性：已知r(K)＝r，向量组A线性无关，r(A)＝s，因此A的行最简矩阵为[*]，存在可逆矩阵P使 PA＝[*]， 于是有PB＝PAK＝[*] 由矩阵秩的性质 r(B)＝r(PB)＝r[*]＝r(K)， 即r(B)＝r(K)＝r，因此向量组B线性无关．
解析
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考研数学一

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