2. 考研
  3. 求二元函数z=f(x，y)=x2y(4－x－y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值．

求二元函数z=f(x，y)=x2y(4－x－y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值．

admin2019-06-30  50
问题 求二元函数z=f(x，y)=x2y(4－x－y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值．
选项
答案注意f(x，y)在区域D上的极值点限定在区域D的内部，而最大(小)值点可以在区域D的边界上取得．因此求f(x，y)在区域D上的极值点可按无条件极值方法处理，但是必须限定所考虑的驻点在给定的区域内．而考虑最大(小)值点与最大(小)值时还应该考虑f(x，y)在区域D的边界上的极值问题，这属于条件极值问题． 先依无条件极值方法求f(x，y)在区域D内的极值：由于z=f(x，y)=x2y(4－x－y)， 求解 [*] 由于区域D的边界曲线为x=0；y=0；x+y=6，可知仅点(2，1)在区域D内，应舍掉(0，y)与(4，0)． 由于 [*] A=(8y－6xy－2y2)|(2，1)=－6＜0， B=(8x－x2－4xy)|(2，1)=－4， C=－2x2|(2，1)=－8． B2－AC=16－48=－32＜0． 因此点(2，1)为极大值点，极大值为f(2，1)=4． 下面求f(x，y)在D上的最大值与最小值： (1)在D的边界曲线x=0(0≤y≤6)上，f(x，y)=0； (2)在D的边界曲线y=0(0≤x≤6)上，f(x，y)=0； (3)在D的边界曲线x+y=6上，一种方法是利用条件极值，构造拉格朗日函数 L(x，y，λ)=x2y(4－x－y)+λ(x+y－6)， 求其极值．另一种方法是由x+y=6可解得y=6－x，将其代入f(x，y)可得 z=2x3－12x2(0≤x≤6)． 显然后者简单，下面按一元函数求极大(小)值方法求之． 先求出z在(0，6)内的驻点，由于 z’=6x2－24x=6x(x－4)． 令z’=0得x=4，x=0(舍掉)，则 z"=12z－24=12(x－2)， z"|x=4=24＞0， 可知x=4为z的极小值点． 当x=4时，由x+y=6得知y=2．f(4，2)=－64为f(x，y)在 x+y=6(x＞0，y＞0) 上的极小值． 由于x=0或y=0时f(x，y)=0，可知f(x，y)在区域D的边界线上的最小值为 f(4，2)=－64， 比较上述运算结果可知f(x，y)在D上的最大值点为(2，1)，最大值为 f(2，1)=4， 最小值点为(4，2)，最小值为 f(4，2)=－64．
解析
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