设函数φ(x)在(一∞，+∞)连续，是周期为1的周期函数，∫01(x)dx=0，函数f(x)在[0，1]有连续导数，求证：令an=∫01f(x)φ(nx)dx，则an=一∫01f’(x)[∫0xφ(nt)dt]dx.

admin2019-01-25 47

问题设函数φ(x)在(一∞，+∞)连续，是周期为1的周期函数，∫₀¹(x)dx=0，函数f(x)在[0，1]有连续导数，求证：
令a_n=∫₀¹f(x)φ(nx)dx，则a_n=一∫₀¹f’(x)[∫₀^xφ(nt)dt]dx.

选项

答案按要证明的结论提示我们．用分部积分法改写a_n a_n=∫₀¹f(x)d(∫₀^xφ(nt)dt) =(f(x)∫₀^xφ(nt)dt)｜₀¹-∫₀^xf’(x)(∫₀^xφ(nt)dt)dx =-∫₀^xf’(x)(∫₀^xφ(nt)dt)dx 其中 [*]

解析

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