2. 考研
  3. 设函数f(χ)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f′(χ)＞0，若极限存在，证明： (Ⅰ)在(a，b)内f(χ)＞0； (Ⅱ)在(a，b)内存在一点ξ，使； (Ⅲ)在(a，b)内存在与(Ⅱ)中ξ相异的点η，使f′

设函数f(χ)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f′(χ)＞0，若极限存在，证明： (Ⅰ)在(a，b)内f(χ)＞0； (Ⅱ)在(a，b)内存在一点ξ，使； (Ⅲ)在(a，b)内存在与(Ⅱ)中ξ相异的点η，使f′

admin2016-03-16  42
问题 设函数f(χ)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f′(χ)＞0，若极限存在，证明：
    (Ⅰ)在(a，b)内f(χ)＞0；
    (Ⅱ)在(a，b)内存在一点ξ，使；
    (Ⅲ)在(a，b)内存在与(Ⅱ)中ξ相异的点η，使f′(η)(b2－a2)＝∫abf(χ)dχ．
选项
答案(Ⅰ)因为[*]存在，故[*](2χ－a)＝0， 由f(χ)在[a，b]上连续，从而f(a)＝0． 又由f′(χ)＞0知f(χ)在(a，b)内单调增加，故f(χ)＞0． (Ⅱ)设F(χ)＝χ2，g(χ)＝∫aχf(t)dt(a≤χ≤b)， 则g′(χ)＝f(χ)＞0， 故F(χ)，g(χ)满足柯西中值定理的条件， 于是在(a，b)内存在一点ξ，使 [*] (Ⅲ)因f(ξ)＝f(ξ)－0＝f(ξ)－f(a)，在[a，ξ]上应用拉格朗日中值定理，知在(a，ξ)内存在一点η，使f(ξ)＝f′(η)(ξ－a)，从而由(Ⅱ)的结论得 [*] 即有f′(η)(b－a)＝[*]f(χ)dχ．
解析
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考研数学二

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