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  3. 设随机变量X的概率密度为f(x)，则随机变量｜X｜的概率密度f1(x)为( )。

设随机变量X的概率密度为f(x)，则随机变量｜X｜的概率密度f1(x)为( )。

admin2019-07-01  20
问题 设随机变量X的概率密度为f(x)，则随机变量｜X｜的概率密度f1(x)为(     )。
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案D
解析 解一  设｜X｜的分布函数为F1(x)，X的分布函数为F(x)，则当x≤0时，{｜X｜≤x}为不可能事件，故
    P(｜X｜≤x)＝P()＝0，
从而    f1(x)＝F’1(x)＝0。
    当x>0时，{｜X｜≤x}＝{－x≤X≤x)，因而
    P(－x≤X≤x)＝P(X≤x)－P(X≤－x)＝F(x)－F(－x)，
则    F1(x)＝P(｜X｜≤x)＝F(x)－F(－x)，
    f1(x)＝F’1(x)＝[F(x)－F(－x)]’
＝F’(x)－F’(－x)(－1)
＝F’(x)＋F’(－x)
    ＝f(x)＋f(－x)，
故f1(x)＝F’1(x)＝仅(D)入选。
    解二  因｜X｜≥0，故当x<0时，必有
    F1(x)＝P(｜x｜≤x)＝P()＝0，
从而x≤0时，必有f1(x)＝0，于是选项(A)、(B)应排除，又因

产生矛盾，故排除(C)，仅(D)入选。
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