设f(x)在[一a,a]上具有三阶连续导数,且满足f’(x)=x2+∫0xtf(x—t)dt,f(0)=0,证明:存在一点ξ∈[一a,a],使得a4|f"’(ξ)|=12∫—aa|f(x)|dx.

admin2017-07-26  35

问题 设f(x)在[一a,a]上具有三阶连续导数,且满足f’(x)=x2+∫0xtf(x—t)dt,f(0)=0,证明:存在一点ξ∈[一a,a],使得a4|f"’(ξ)|=12∫—aa|f(x)|dx.

选项

答案由f’(x)=x2+∫0xtf(x—t)dt[*]x2+x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du, 知f’(0)=0,f"(x)=2x+I f(u)du,f"(0)=0. 根据台劳公式,有 [*] 这里m,M为|f"’(x)|在[一a,a]上的最小值、最大值. 故存在点ξ∈[一a,a]使得|f"’(ξ)|=[*]=f(x)|dx.

解析 只要证|f"’(ξ)|=|f(x)dx,由于|f"(x)|在[—a,a]上连续,可对f"’(x)在[一a,a]上用介值定理.为证明|f(x)dx如介于|f"’(x)|在[—a,a]上的最小值和最大值之间.对f(x)用麦克劳林公式.
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