[2005年] 计算二重积分∣x2+y2一1∣dσ，其中D={(x，y)∣0≤x≤1，0≤y≤1}．

admin2021-01-19 45

问题 [2005年] 计算二重积分

∣x²+y²一1∣dσ，其中D={(x，y)∣0≤x≤1，0≤y≤1}．

选项

答案去掉被积函数的绝对值符号将积分区域分为两部分积分即可． [*] 将D分成D₁与D₂两部分，如图1．5．1．6所示．应用二重积分关于区域的可加性，去掉绝对值再积分，得到 [*]∣x²+y²一1∣dσ=[*](1一x²一y²)dσ+[*](x²+y²一1)dσ．而[*](1一x²一y²)dσ=∫₀^π/2dθ∫₀¹(1一r²)rdr=[*], [*](x²+y²一1)dσ=[*](x²+y²一1)dσ一[*](x²+y²一1)dσ =∫₀¹dx∫₀¹(x²+y²－1)dy+[*](1一x²一y²)dσ =∫₀¹f(x²一[*])dx一∫₀^π/2dθ∫₀¹(r²—1)rdr =一1／3一(一π／8)=π／8—1／3．故[*]∣x²+y²一1∣dσ=[*]

解析

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考研数学二

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