2. 考研
  3. 已知二次型f(x1，x2，x2)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2. (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形； (Ⅲ)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．

已知二次型f(x1，x2，x2)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2. (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形； (Ⅲ)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．

admin2016-10-20  41
问题 已知二次型f(x1，x2，x2)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2.
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；
(Ⅲ)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．
选项
答案(Ⅰ)二次型矩阵A=[*]．二次型的秩为2，即二次型矩阵A的秩为2， 从而 ｜A｜=[*]=-8a=0，解得a=0． (Ⅱ)当a=0时，A=[*]，由特征多项式 ｜λE-A｜=[*]=(λ-2)[(λ-1)2-1]=λ(λ-2)2， 得矩阵A的特征值λ1=λ2=2，λ3=0． 当λ=2时，由(2E-A)x=0，[*] 得特征向量α1=(1．1．0)T．α2=(0，0，1)T． 当λ=0时，由(0E-A)x=0，[*]，得特征向量α3=(1，-1，0)T． 容易看出，α1，α2，α3已两两正交，故只需将它们单位化： [*] (Ⅲ)由f(x1，x2，x3)=x12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32=0，得[*] 所以方程f(x1，x2，x3)=0的通解为：k(1，-1，0)T，其中k为任意常数.
解析
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考研数学三

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