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  3. 设函数f(x，y)=|x－y|g(x，y)，其中g(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且g(0，0)=0，则在点(0，0)处( )

设函数f(x，y)=|x－y|g(x，y)，其中g(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且g(0，0)=0，则在点(0，0)处( )

admin2019-12-26  19
问题 设函数f(x，y)=|x－y|g(x，y)，其中g(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且g(0，0)=0，则在点(0，0)处(    )
选项 A、fx′(0，0)与fy′(0，0)都不存在．
B、fx′(0，0)与fy′(0，0)都存在，但都不为0．
C、fx′(0，0)=0，fy′(0，0)=0，但f(x，y)不可微．
D、f(x，y)可微，且df(x，y)|(0,0)=0．
答案D
解析
由于为有界变量，故

即fx′(0，0)=0．同理fy′(0，0)=0，排除(A)，(B)．
    △f=f(0+△x，0+△y)－f(0，0)=|△x－△y|g(△x，△y)，
    △f-[fx(0，0)△x+fy′(0，0)△y]=|△x－△y|g(△x，△y)，
   
由于
   
且
  
故
  
可知f(x,y)在(0,0)点可微，故应选D．
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考研数学三

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